남경 양자강 대교의 강철 트러스 구조를 관찰하면, 무수한 삼각형 단위들이 서로 연결되어 있음을 알 수 있습니다. 이 삼각형들은합동그리고대응하는 변의 길이가 같음，它们在承受外力时能保持几何结构的极度稳定性。这种“完全重合”的特性，不仅是工程学的基石，更是几何逻辑的灵魂。
합동 삼각형의 본질: 중첩성
当我们把一个图形通过平移、翻转或旋转，使其与另一个完全重合时，我们就完成了从工程实物到几何模型“全等”概念的转化。
- 합동 도형 (Congruent figures)완전히 겹쳐지는 두 도형.
- 합동 삼각형 (Congruent triangles)완전히 겹쳐지는 두 삼각형.
겹칠 때,겹치는 꼭짓점대응하는 꼭짓점이라고 부릅니다,겹치는 변대응하는 변이라고 부릅니다,겹치는 각대응하는 각이라고 부릅니다.
기호와 표현
합동은 기호 '$\cong$'로 나타내며, '합동이다'라고 읽습니다.
주의: 두 삼각형이 합동임을 기록할 때 일반적으로대응하는 꼭짓점의 문자를 대응하는 위치에 적습니다。例如：$\triangle ABC \cong \triangle DBC$ 表示 $A$ 与 $D$ 对应，$B$ 与 $B$ 对应，$C$ 与 $C$ 对应。
핵심 성질
합동 삼각형의대응하는 변의 길이가 같음이고, 합동 삼각형의대응각은 같다입니다.
🎯 식별 기술
복잡한 도형에서는 ‘공통 변’(예: $AD$ 는 $\triangle ABD$ 와 $\triangle ACD$ 의 변)이나 ‘공통 각’을 찾는 것을 주의하세요. 이들은 합동의 대응 관계를 확정하는 핵심 단서입니다.
1. 다항식 항들을 수집합니다: $x^2$ 정사각형 하나, $x$ 직사각형 세 개, 그리고 $1\times1$ 단위 정사각형 두 개.
2. 기하학적 조립을 시작합니다.
3. 이들은 완벽하게 더 큰 연속된 직사각형을 형성합니다! 너비는 $(x+2)$, 높이는 $(x+1)$입니다.
질문 1
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 의 합동 관계를 쓸 때 반드시 따라야 하는 원칙은 무엇입니까?
문자는 사전 순서대로 나열해야 합니다
대응하는 꼭짓점의 문자는 대응하는 위치에 써야 합니다
넓이가 큰 삼각형부터 먼저 씁니다
특별한 요구사항 없이 자유롭게 쓰면 됩니다
정답!
이는 기하학적 엄격성의 요구사항입니다. 대응하는 꼭짓점의 위치가 일치해야만, 우리가 어떤 변($예: $AB$ 와 $DE$)과 어떤 각이 같은지 바로 알 수 있습니다.힌트: $\triangle ABC \cong \triangle DBC$ 를 관찰하세요. 만약 $A$ 가 $D$ 와 대응한다면, $A$ 는 첫 번째 위치에 있어야 합니다.
질문 2
그림 12.1-2 (2) 에서, $\triangle ABC$ 와 $\triangle DBC$ 는 선분 $BC$ 에 대해 축대칭입니다. 다음 중 대응 요소에 대한 설명 중 잘못된 것은?
$AB$ 와 $DB$ 는 대응하는 변입니다
$BC$ 는 공통 변이며, 대응하는 변이기도 합니다
$\angle A$ 와 $\angle D$ 는 대응하는 각입니다
$AC$ 와 $BC$ 는 대응하는 변입니다
완전히 정확합니다!
반사 변환에서 $AC$ 는 $DC$ 와 겹칩니다. 따라서 $AC$ 의 대응하는 변은 $DC$ 이며, $BC$ 는 아닙니다.힌트: 대응하는 변은 겹쳐져 있을 때 한쪽 위에 올라가는 변입니다. $AC$ 는 반사 후 $DC$ 위에 놓입니다.
질문 3
$\triangle OCA \cong \triangle OBD$ 라고 알려졌으며, 점 $C$ 와 점 $B$, 점 $A$ 와 점 $D$ 는 대응 꼭짓점입니다. 다음 결론 중 올바른 것은?
$OC = OB, OA = OD, AC = BD$
$OC = OD, OA = OB, AC = BD$
$OA = AC, OB = BD$
$\angle COA = \angle DOB = 90^\circ$
정답입니다!
합동 삼각형의 성질에 따르면, 대응하는 변의 길이가 같습니다. 꼭짓점의 대응 관계에 따라, $OC$ 는 $OB$ 와, $OA$ 는 $OD$ 와, $AC$ 는 $BD$ 와 대응합니다.힌트: 주어진 꼭짓점의 대응 순서에 따라, $OC$ 의 대응하는 변은 $OB$ 여야 합니다.
질문 4
그림에 따르면, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$, $AB$ 와 $CD$, $BC$ 와 $DA$ 는 대응하는 변입니다. 그러면 $\angle BAC$ 의 대응각은 무엇입니까?
$\angle CAD$
$\angle DCA$
$\angle D$
$\angle B$
정답!
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ 에서, $AB$ 는 $CD$ 와 대응하기 때문에, $AB$ 와 $AC$ 사이에 있는 각 $\angle BAC$ 는 $CD$ 와 $CA$ 사이에 있는 각 $\angle DCA$ 와 대응합니다.힌트: 대응각은 대응하는 변 사이에 있는 각입니다. $AB$ 의 대응하는 변은 $CD$ 이며, $AC$ 는 공통 변입니다.
질문 5
그림은 두 개의 합동 삼각형입니다. 첫 번째 삼각형의 각은 $54^\circ$ 와 $60^\circ$이며, 변은 $a, b, c$입니다. 두 번째 삼각형은 변 $b, c$ 가 주어졌습니다. 그러면 이 두 변 사이의 각 $\angle 1$ 은 몇 도입니까?
$54^\circ$
$60^\circ$
$66^\circ$
$114^\circ$
놀라운 추론!
1. 첫 번째 삼각형의 세 번째 각은 $180 - 54 - 60 = 66^\circ$입니다. 이 각은 변 $b$ 와 $c$ 사이의 각입니다.2. 因为两个三角形全等且对应边相等，第二个三角形中 $b$ 和 $c$ 的夹角 $\angle 1$ 必须等于第一个三角形中 $b$ 和 $c$ 的夹角，即 $66^\circ$。
힌트: 먼저 첫 번째 삼각형의 누락된 내각을 계산하세요. 그런 다음 대응하는 변 $b$ 와 $c$ 를 기준으로 $\angle 1$ 의 크기를 결정하세요.
질문 6
$\triangle EFG \cong \triangle NMH$, $\angle F = \angle M$. $EF=2.1$ cm, $EH=1.1$ cm, $NH=3.3$ cm가 주어졌습니다. 선분 $NM$ 의 길이를 구하세요.
$1.1$ cm
$2.1$ cm
$3.3$ cm
$2.2$ cm
정답!
$\triangle EFG \cong \triangle NMH$ 로부터 $EF$ 와 $NM$ 는 대응하는 변임을 알 수 있습니다. 성질 '합동 삼각형의 대응하는 변의 길이가 같다'에 따라, $NM = EF = 2.1$ cm 입니다.힌트: 합동식에서 $EF$ 의 대응 위치를 찾아보세요. $E$ 는 $N$ 과, $F$ 는 $M$ 과 대응합니다.
질문 7
이전 문제에 이어, 선분 $HG$ 의 길이를 구하세요.
$1.1$ cm
$2.2$ cm
$3.3$ cm
$4.4$ cm
해석이 정확합니다!
1. 대응하는 변 $EG = NH = 3.3$ cm입니다.2. 그림을 관찰하면, $HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2$ cm입니다.
힌트: 먼저 $NH$ 의 대응하는 변인 $EG$ 를 찾아낸 후, $HG = EG - EH$ 를 이용하여 계산하세요.
질문 8
$\triangle ABC \cong \triangle DEC$, $CA$ 와 $CD$, $CB$ 와 $CE$ 는 대응하는 변입니다. 그러면 $\angle ACD$ 와 $\angle BCE$ 의 관계는 무엇입니까?
보완됨
같음
$\angle ACD = 2\angle BCE$
필연적인 관계 없음
완전히 정확합니다!
$\triangle ABC \cong \triangle DEC$ 이므로, $\angle ACB = \angle DCE$ 입니다. 양쪽에서 공통 각 $\angle DCB$ 를 빼면, $\angle ACD = \angle BCE$ 를 얻을 수 있습니다.힌트: 합동 성질 $\angle ACB = \angle DCE$ 에서 출발하여, 그림에서 이들 각이 공유하는 부분을 관찰하세요.
질문 9
$\triangle AEC \cong \triangle ADB$，点 $E$ 和点 $D$ 是对应顶点。若 $\angle A = 50^\circ$，$\angle ABD = 39^\circ$，求 $\angle AEC$ 的度数。
$91^\circ$
$39^\circ$
$50^\circ$
$100^\circ$
훌륭합니다!
1. 在 $\triangle ADB$ 中，$\angle ADB = 180 - \angle A - \angle ABD = 180 - 50 - 39 = 91^\circ$。2. 因为 $\triangle AEC \cong \triangle ADB$ 且 $E, D$ 对应，所以 $\angle AEC = \angle ADB = 91^\circ$。
提示：先利用内角和求出 $\triangle ADB$ 中的 $\angle ADB$，再利用全等对应角相等转化。
질문 10
‘합동’은 생활 곳곳에 존재합니다. 다음 중 어느 물체의 조합이 ‘합동 도형’의 정의에 가장 부합합니까?
같은 판면에서 인쇄된 동일한 가치의 우표 두 장
큰 고양이 한 마리와 작은 고양이 한 마리
복사기에서 나온 비율이 다른 두 장의 도면
컴퍼스로 그린 반지름이 다른 두 개의 원
정답!
全等要求形状和大小必须完全相同。印刷出的同面值邮票可以完全重合。힌트: 합동 도형은 모양이 같아야 할 뿐만 아니라, 크기 또한 완전히 같아야 합니다.
도전: 공학 논리의 엄격성
실제 상황에서 기하학적 모델로 추상화하기
상황 시뮬레이션: 그림처럼, 두 차량은 북-남 방향의 구간 $AB$ 의 $A$ 쪽에서 출발하여, 동쪽과 서쪽으로 동일한 거리를 이동해 $C, D$ 지점에 도착합니다. 우리는 $C, D$ 지점에서 $B$ 지점까지의 거리가 같은지 여부를 탐구하고자 합니다.
질문 1
根据题意，此时 $C, D$ 到 $B$ 的距离相等吗？并写出你的理由。
세부 해설:
距离相等（$BC = BD$）。
理由如下：
距离相等（$BC = BD$）。
理由如下：
- 기하학적 모델에서, 북-남 방향 구간 $AB$ 는 동쪽/서쪽 방향과 수직이며, 즉 $\angle BAC = \angle BAD = 90^\circ$입니다.
- 문제의 의도에 따르면, 동쪽과 서쪽으로 이동하는 거리가 같으므로, $AC = AD$입니다.
- 线段 $AB$ 是 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 的公共边。
- 通过翻折变换（沿 $AB$ 翻折），$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 能够完全重合，因此它们是全等三角形입니다.
- 根据全等三角形性质：대응하는 변의 길이가 같음，所以 $BC = BD$。
✨ 核心要点
形状大小两相同，完全重合影随踪입니다.对应顶点排整齐，全等符号记心中！
💡 字母顺序是关键
写全等式时，务必让顶点字母一一对应。如 $\triangle ABC \cong \triangle DFE$，则 $A$ 对应 $D$，$B$ 对应 $F$，$C$ 对应 $E$。这样推导出的边和角才不会出错。
💡 善用公共元素
在复杂的重叠图形中，公共边（如两条三角形公用的那条边）和公共角是判定全等最隐蔽也最关键的已知条件。
💡 全等变换不变性
平移、翻折、旋转这三种变换，只会改变图形的位置，不会改变图形的形状和大小。变换前后的两个图形一定是全等形。
💡 对应关系的逻辑
通常：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角。
💡 性质的用途
记住“对应边相等、对应角相等”是证明线段相等或角度相等的强力工具。当你遇到要证明两条线段相等时，先看它们是否属于两个全等三角形。